Задачи по математике [ Настоящие, интересные, красивые ]

Полная версия:

Ласкер, может я чего не понимаю - но вначале было 5 рублей, в конце 8.
Доход получается 3

Ласкер, может я чего не понимаю - но вначале было 5 рублей, в конце 8.
Доход получается 3

В задаче спрашивалось про прибыль от продажи. Имеющиеся данные позволяют посчитать прибыль от продажи двух лошадей. А сколько денег в кассе было в начале отчётного периода и по его окончании на прибыль не влияет. Также не влияет на прибыль и пропитые деньги, и взятые в долг, и украденные, и прочие...
Также не влияет на прибыль и очерёдность операций. Он мог даже продать лошадей раньше, чем купить.

Задача о двух конвертах

Формулировка

Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2X+X/2)/2 = (5/4)X, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

здесь в википедии об этой задаче

Ошибка в том что среднее арифметическое может быть больше одного или нескольких своих составляющих, и судить по нему об одном из слагаемых- нельзя..

Ошибка приведенных рассуждений заключается в том, что переменная (сумма на руках) ошибочно принимается за единицу измерения выигрыша/проигрыша, в то время как абсолютное значение выигрыша и проигрыша - константа.

Степень риска определяется как отношение произведений выигрыша на его вероятность и проигрыша на его вероятность (или суммы произведений выигрышей на их вероятность и соответственно в знаменателе). В нашем случае числитель и знаменатель равны, то есть можно меняться, можно не меняться, ни смысла, ни беды в этом нет.

Можно посчитать по-другому. Поскольку нам неизвестен результат первой сдачи, рассмотрим сдачу и обмен как две независимые сдачи. Средняя сумма на руках - половина содержимого обоих конвертов, то есть при большом количестве пар "сдача-обмен" выигрыш равен средней сумме, то есть в среднем смысла меняться нет, смысла отказываться от обмена тоже нет.

vpotapov1, непонятно, а какое отношение к этой задаче имеет среднее арифметическое?

В математической логике "И"(сумма) и "ИЛИ" - разные операции.

Ошибка в том, что есть границы (минимальные и максимальные суммы). И возле границ приведенное рассуждение неверно. Точный подсчет вероятностей с учетом этих границ дает, что выгоды от смены конвертов нет. Детально с формулами парадокс разобран здесь http://www.maa.org/devlin/devlin_0708_04.html (sorry, English). Но! При несколько более изощренной тактике (не тупой обмен всегда) вероятность выигрыша (увеличения полученной суммы) можно повысить. Еще можно посмотреть тут (в т.ч. и комментарии) http://my-tribune.blogspot.com/2009/08/blog-post_27.html

Хоссподи... Кто-то насовал каких-то формул, а потом еще и спрашивает, где ошибка. Я в таких случаях просто чувствую, что вероятность одинаковая.

Это интересно... Вероятности - штука коварная... Ксанита, а что ты чувствуешь в случае с такой задачей:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Мне кажется. что изменится.
До открытия третьей двери вероятность найти автомобиль была 1/3, после открытия стала 1/2.

Шансы увеличиваются в принципе, но автомобиль там либо есть, либо нет - конечно, нет смысла менять выбор, если только не пытаться угадать по лицу ведущего. А вот тогда как раз чувствовать нужно! Или нужно знать ведущего - вредный он или подыгрывать любит.
Если, конечно, я выбрала дверь №1, но не открывала ее.

Сообщение отредактировал(а) Ксанита - 22.08.2011 - 21:57

Имхо, в задаче про 3 двери - не изменится, потому что ведущий не сообщил никакой дополнительной информации. И так было известно, что хотя бы за одной из оставшихся дверей точно(со 100%-ной вероятностью) находится коза. Потому что не может быть такого, чтобы за обеими дверьми были автомобили.
Соответственно, ведущий своим действием ничего не меняет.


В задаче про 2 конверта путаница возникает из-за того, что вводится 3 возможных события: Х, 2Х и Х/2. Хотя реально событий (и конвертов) только 2. Либо у меня в конверте Х, тогда в противоположном 2Х, либо у меня 2Х, тогда в противоположном Х.

Третью дверь уже открыли. Вопрос: изменится ли вероятность выигрыша, если ты поменяешь свое решение и выберешь другую (еще закрытую) дверь - не ту, которую выбрала изначально?

Ты отвлекаешься не туда. Это задача по теории вероятностей, не по психологии. Ведущий - компьютер. Вопрос: что ты чувствуешь - изменится ли вероятность выигрыша, если ты поменяешь свое решение и выберешь другую (еще закрытую) дверь - не ту, которую выбрала изначально?

Вот ответ Тати четкий и ясный - не изменится.

Поскольку второй выбор не связан причинно с первым, то есть результат его не влияет на второй, то и рассматривать следует их независимо. То есть для того, чтобы сделать второй выбор (из двух дверей), наличие первого учитывать не требуется. Вероятность выигрыша в первом выборе ⅓, во втором - ½, независимо от того, выбирает ли игрок туже самую дверь или другую.

Аналогичная задача: в рулетке выпала серия из 10 "красного". Вероятность такой серии ½=1/1024 (если не учитывать зеро). Какова вероятность того, что в 11 раз выпадет красное?