Математические хитрости

Ну, раз вроде нерешенных задач не осталось, выложу еще одну:
На столу лежит десять шляп, в каждой по десять монет. В одной из шляп все монеты фальшивые, в остальных - все настоящие. Фальшивая монета весит десять грамм, фальшивая - девять. Еще есть весы, градуированные в граммах, с максимально возможной загрузкой в 750 грамм. Требуется за ОДНО взвешивание определить, в какой шляпе монеты фальшивые.

1. Определись, сколько весит фальшивая, а сколько - настоящая :-D .
2. Я бы добавил одну шляпу и уменьшил возможную загрузку весов ;-) .

Точно Можно и 11 шляп анализировать

Solvent прислал решение задачи про подбор функции, заменяющей систему.

QUOTE

Подумал вот, и все-таки добил задачу про функцию Решение, как оказалось, явно не единственное, но один из вариантов такой:   f(x) = x^(3*[x*e^(-x*x)] - 2)   [...] - это, понятное дело, целая часть числа(я так понимаю, что имелось ввиду ее классическое определение, то есть [-0.5] = -1)   Что не так?

Solvent, мое восхищение. Решение действительно правильное (хотя в точке ноль функция по-прежнему не существует: ноль в степени ноль – неопределенность). Ты воспользовался тем, что одна и другая функции представляют собой степени числа x, но есть и более общий метод, позволяющий объединять функции любого вида. Скажем, чтобы слева была парабола, а справа – логарифм. И кроме того, можно избавляться от неопределенности или наоборот, добавлять ее в любую часть.

Большая часть работы уже проделана!

Кстати, задачу с обменом значений переменных Solvent тоже решил. Еще раньше ее решила VIH, но на одно действие длиннее, чем можно.
x=a
y=b
Ответ:
x:=x+y // x=a+b y=b
y:=x-y // x=a+b y=a
x:=x-y // x=b y=a

При таком решении возможно переполнение. Есть другой вариант через исключающее или.

QUOTE

1. Определись, сколько весит фальшивая, а сколько - настоящая :-D . 2. Я бы добавил одну шляпу и уменьшил возможную загрузку весов ;-) .

Ой :redface: Прошу пардону, действительно ашыпка Настоящая монета весит десять грамм, а фальшивая - девять. И максимальная масса, которую могут взвесить весы - 600 грамм. Вот так

QUOTE

При таком решении возможно переполнение. Есть другой вариант через исключающее или.

Естественно... Вот он:

CODE

int a, b;  a ^= b ^=a ^= b;

Только что использовать XOR можно - речи не было

QUOTE

Solvent прислал решение задачи про подбор функции, заменяющей систему. QUOTE Подумал вот, и все-таки добил задачу про функцию Решение, как оказалось, явно не единственное, но один из вариантов такой:   f(x) = x^(3*[x*e^(-x*x)] - 2)   [...] - это, понятное дело, целая часть числа(я так понимаю, что имелось ввиду ее классическое определение, то есть [-0.5] = -1)   Что не так? Solvent, мое восхищение. Решение действительно правильное (хотя в точке ноль функция по-прежнему не существует: ноль в степени ноль – неопределенность). Ты воспользовался тем, что одна и другая функции представляют собой степени числа x, но есть и более общий метод, позволяющий объединять функции любого вида. Скажем, чтобы слева была парабола, а справа – логарифм. И кроме того, можно избавляться от неопределенности или наоборот, добавлять ее в любую часть. Большая часть работы уже проделана!

Сорри. Видимо я прислал неверный ответ, правильный ответ такой:
f(x) = x^(3 * [x * e^(-x*x)] + 2)
И тогда никаких проблем с неопределенностью нет, в нуле у этой функции явный нуль в квадрате, который, как это не странно, равен нулю Так что в первоначальных условиях решение правильное
Теперь про новые условия(для любых двух функций):

Пусть есть две функции f(x) и g(x) такие, что f(x) определена при x>=0, а g(x) определена при x<0.
Требуется найти функцию F(x) такую, что
F(x) = f(x) при x>=0
F(x) = g(x) при x<0
Я верно условие сформулировал?

Тогда вот решение
F(x) = f(x)*([x*exp(-x*x)]+1) - g(x)*[x*exp(-x*x)]
Единственная говорка - обе функции должны быть ограниченны для всех x.
Если же у функции f(x) есть точки, в которых она стремится к бесконечности со скоростью 0^(-n), n>=1, а у функции g(x) есть точки, в которых она стремится к бесконечности со скоростью 0^(-m), m>=1, то необходимо пользоваться такой формулой

F(x) = f(x) * ([x*exp(-x*x)] + 1)^(n+1) - g(x) * ([x*exp(-x*x)])^(m+1)

Вроде бы все. Ошибки есть?

Кажется ошибок нет. Суть уловлена верно. Более подробное решение с объяснениями я вышлю в следующий раз.

Задача
Даны две функции f(x) и g(x). Требуется не используя знака системы задать такую функцию z(x), которая являлась бы композицией элементарных функций:
1. Сложение, вычитание, умножение, деление
2. Возведение в любую степень (в том числе и корни)
3. sin, cos, arcsin, arcos
4. модуль
5. логарифмы
6. Целая часть числа, дробная часть числа

Слева от нуля z(x)=f(x), справа z(x)=g(x).
Решение.
Один из способов решения: идея достаточно проста: нужно представить функцию z(x) в виде:
z(x)=f(x)*d1(x)+g(x)*d2(x), где
d1(x) – функция равная 1 при x<0 и равная 0 при x>=0
d2(x) – функция равная 0 при x<0 и равная 1 при x>=0

Значит, наша задача свелась к отысканию функций d1(x) и d2(x), которые нужно выразить через элементарные функции, не прибегая к знаку системы.
Примечание: графики функций d1 и d2 напоминают график sgn(x), я не случайно упомянул, что ее нельзя использовать.

Каким образом представить d1 и d2 через элементарные функции я знаю несколько способов.
1) x/(x^2+1) – эта функция всегда меньше 1 и больше –1. Функция >0 справа от 0 и <0 слева от 0. Если взять от нее целую часть, то получаим:
[x/(x^2+1)] – функция, равная 0 при x>=0 и равная –1 при x<0. Неправда ли, уже очень близко к тому, что надо получить?
Обозначим для удобства k(x)= [x/(x^2+1)], тогда
d2(x)=k(x)+1
d1(x)=-k(x)
Подставляем соответственные выражения в исходную функцию, получим:
z(x)=f(x)*( [x/(x^2+1)]+1)+g(x)*(- [x/(x^2+1)])
2) Дугой способ подобрать функцию k(x):
k(x)=[2*arctg(x)/Pi]
Дальше – тот же алгоритм.

Теперь рассмотрим заданную нам задачу: справа и в нуле парабола, слева гипербола. Как избавиться от неопределенности в нуле? Очень просто: вместо функции
1/x
использовать другую функцию
1/(x+d3(x))
где d3(x)=0 во всех точках, кроме 0 и равна 1 в точке 0.
Значит, функция
1/(x+d3(x))
имеет значение 1/x во всех точках, кроме 0, и равна 1 в 0. Неопределенности в нуле больше нет! При перемножении на d1(x) значение функции обратится в нуле в 0. Но на всякий случай эту функцию можно модернизировать:
1/(x+d3(x)) – d3(x)
имеет значение 1/x во всех точках, кроме 0, и равна 0 в 0.

Итак, нужно подобрать d3(x). В этом нам поможет уже найденная функция k(x):
k(x)+1 равна 1 при X>=0, в остальных 0
k(-x)+1 равна 1 при X<=0, в остальных 0
d3(x)=k(x)+1+ k(-x)+1-1= k(x)+ k(-x)+1 равна 1 при X=0, в остальных 0

Решение практически найдено.

[quote="Solvent"][quote]...Всякие изощренные функции типа sgn(x) (знак числа x) к элементарным не относятся...
[/quote]
sgn(x) без проблем выражается через элементарные функции

А кстати, как выразить sgn(x) через элементарные функции?
Я довольно долго крутил так и сяк пока дошло...

Четыре раненых ковбоя убегают от индейцев, перед ними полуразрушенный мост. По мосту одновременно могут пройти только двое, скорость прохождения моста у ковбоев разная (по степени ранений), первый проходит мост за 5 минут. 2-й за 10 минут, 3-й за 20 минут, 4-й за 25 минут. Стемнело, но у них есть одна свечка на всех. по мосту можно пройти только со свечой. Через час их настигнут индейцы, как им успеть переправиться на другой берег.

Ровно за час и переберутся А если не хитрить то тоже переберутся ибо индейцы то прибудут через час только к начау моста а наши герои если напрягатся и думать не хотят будут находится где то посередине моста. Так что задача решается и без хитриков

Свечка одна, без свечи по мосту ходить нельзя, т.е кому-то ее надо возвращать назад. Индейцы здоровые и переберутся через мост сразу, допустим надо успеть взорвать мост. Простите, я думал условия понятные.