Математические хитрости

Афа
Верно! Тот же правильный ответ дал и Магар.

Ответ полностью и с доказательством:
8. Докажем, что в подвале не может оказаться больше 8 дверей. Пусть комнаты просыпаются в порядке нумерации: сначала первая, потом вторая, последней – десятая. Рассмотрим комнату, с которой сняли дверь жители первой комнаты. Когда жители этой комнаты проснутся, они повесят свою дверь на место. Таким образом, в результате этих двух операций ни одной двери в подвале не прибавилось и, если даже остальные восемь комнат снимут по двери, в подвале окажется не более восьми дверей. Приведем пример. Пусть жители первой комнаты снимают дверь с 10-й, жители 2-й комнаты снимают дверь с 1-й…, жители n-й снимают дверь с n-1 (1 < n < 10). Проснувшиеся последними жители 10-й комнаты вешают свою дверь на место. В подвале окажутся 8 дверей от 1-й, 2-й … 8-й комнат.

Раз опять задачи все, добавлю еще:
Эта задача очень известная, но вполне возможно, что кто-то ее еще не видел.
Вопрос, как мне кажется, ясен из картинки - куда делся один квадратик?

И еще. Одна очень красивая, на мой взгляд, задача. Но тут уже без формул не обойдешься, голой логики не хватит.
Девушка находится на островке в центре круглого озера. На берегу ее поджидает грязный приставучий панк. Плавать он не умеет, зато бегает в 4 раза быстрее, чем девушка может плыть. Если она сможет добраться до берега и не попасться в руки панку, она без проблем убежит от него. Панк бегает по берегу озера, стараясь находится на минимальном расстоянии от девушки. Как ей убежать от навязчивого панка?
Если кто замахнется на решение этой задачи - ответы просьба подкреплять хоть какими-то доказательствами

Solvent
Хорошая задачка про треугольники...
Т.е. понятно, чудес не бывает. Но сразу так башка не переключается.
...
Вобщем, гипотенуза у треугольника не является прямой линией.

Да, треугольники – угар. У меня на старой работе соседний отдел на пол-дня выбыл из игры, пока задачка не пришла к нам, а мы посчитали тангенсы:-)

А про девушку я бы сказал так: ей надо отплыть от центра на (0.9/4) радиуса – на этом расстоянии она движется вокруг центра (в смысле градусов/час) быстрее, чем панк, соответственно, может занять такое положение, чтобы их с панком разделял центр круга. А после этого девушка проплывет до ближайшего берега 3.1/4 радиуса быстрее, чем панк пробежит pi радиусов.

PS: вначале можно отплыть от центра на любое расстояние меньшее 1/4 радиуса и большее (4-pi)/4 радиуса.

Makar - Браво! Про панка и девушку - абсолютно правильное решение! Его же можно получить в общем виде, но не думаю, что это будет особо интересно. Из этого же решения следует, что смыться таким образом от панка девушка сможет только в случае, когда отношение скоростей панка на суше и девушки в воде больше pi+1(в нашем случае - 4, так что все нормально). Мораль - девушки, учитесь плавать!
С треугольниками все верно - разные тангенсы, как следствие - кривая гипотенуза. Но сначала испытываешь дикое удивление

4 < pi+1 = 4.14159265358979323846264338327950288419716939......

По третьей задаче: L=2*pi*r Дельта L=1м. По обратной формуле Дельта r примерно 1/6 метра. 16,5 см. Теперь все зависит от человека.

Кстати, кажется никто не заметил, что это 4-я задача!!!!

Задача про 12 монет решалась бы по алгоритму - пополам. В последнем случае нужно проверять равенство весов любых двух монет. Загвоздка с тем, что неизвестно легче она или тяжелее. Как она решается? Возможен нестандартный вариант с одновременным взвешиванием на 12 весах, но думаю он не рассматривается.

1-я задача: Всегда помнить кто за что платит.

Думаю все решали, но кому-то может быть интересно:

Шах решил испытать двух своих мудрецов и сказал:
- Есть три колпака, два белых и один красный. Вы сядете лицом к лицу и вам завяжут глаза. Я спрячу один какой-то колпак к себе в сундук, а два одену на каждого из вас. Когда вам развяжут глаза вы увидете колпак соперника. И кто из вас скажет какой колпак на нем и логично объяснит почему он так решил, тот и окажется мудрее.
Сказано - сделано. Шах, конечно, спрятал красный. Мудрецы открыли глаза и после недолгого раздумия один из них сказал: "На мне белый." И очень логично объяснил почему он так решил. Как?

camein
А ему терять было нечего. Если бы на нем был красный колпак, то чувак напротив дал бы однозначный ответ, однозначно логичный. Так что даже в случае ошибки он бы ничего не потерял.

Если бы он изучал НЛП, то он заметил бы радостное спокойствие в глазах мудреца напротив и поняв, что тот знает свой ответ однозначно - тоже бы быстро ответил.

Ну а вообще, он наверно сказал, что мудрый шах ищущий мудрое решение поставил бы обоих мудрецов в равные условия. А в былые времена лесть, логика и мудрость часто служили поводом остаться в живых.

Mikai
Это верно, но как все-таки решается задача про 12 монет?

12 монет - 1 фальшивая (легче), 3 взвеса?
взвешиваются 6 и 6 - какая легче - там ифальшивая
3 и 3 из этой 6ки - какая регче ,там и фальшивая
ну и последний ход сам уж додумай

Решение неправильно.

Чтобы предоставить решение нужно написать полное дерево вариантов. Т.е. ложим такие то монеты на весы у весов возможно три положения: так / так \ или так- и дальше что делаем в каждом случае. Т.е. взвешиваний 3 и 3 варианта весов то всего 27 вариантов.

Вроде бы в задаче я не сказал легче или тяжелее фальшивая монета

Итак продолжаем думать

Обнаружить фальшивую монету при помощи весов можно только если она отличается по весу от настоящей- либо тяжелей, либо легче (все равно)- способом, который предложил dancer. А если она равна- то весы тут не помогут.

Она отличается но в какую сторону неизвесно. Т.е. просто известен факт отличия веса но не указана сторона. Т.е. фальшивка может быть как легче так и тяжелее. Причём после взвешиваний можно даже будет сказать больше она весит или меньше для всех кроме одной монеты.