Математические хитрости

Я конечно не ЛинчикБлинчик, но попробую ответить

1. a(n) = const != 0 является арифметической с сразностью 0 и геометрической со знаменателем 1.
2. Тут точно не уверена, но если взять большой отрицательный знаменатель, то он будет меньше 1, но члены прогрессии будут расти по модулю, но я не помню, попадает ли это под определение возрастающей геометрической прогрессии.
3. f(x) = 1/x^2 является четной, но не имеет экстремума.

Krisania

1. и 3. Правильно

Работаем над 2-ым вопросом.

4. Может ли функция иметь производную в точке, но не являться в этой точке дифференцируемой.

5. Пусть А-множество всех множеств. Возможно ли это теоретически?

4. Если имеется в виду функция одной переменной и "обычная" производная(не справа и не слева), то нет, не может. Теорема такая есть
5. Нет не может.

Речь идёт о действительной функции одной вещественной переменной и имеется в виду "обычная" производная. Насколько я помню теорему (к сожалению,рядом нет учебника, чтобы проверить) она звучит так: Если функция дифференцируема, то она имеет производную (но не наоборот.)

Так что ответ неверный.

5. Уточни свой ответ по поводу 5-го вопроса.

Приведи пожалуста пример функции имеющей производную, но не дифференцируемой.

Вообще можешь не стараться, ничего не получится

Определение производной: A=f'(x0) если df/dx -> A при dx->0, где df=f(x)-f(x0), dx=x-x0.
Определение дифференцируемой функции: f называется дифференцируемой в точке x0 если df = B*dx + c(dx) * dx, где df=f(x)-f(x0), dx=x-x0, B не зависит от dx, c(dx)->0 при dx ->0

Теорема: Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная.
Доказательство: Пусть f(x) имеет в точке x0 производную равную A, тогда(вспоминаем свойство предела) df/dx = A + c(dx), где c(dx) -> 0 при dx->0. Отсюда df = A*dx + c(dx)*dx, при чем A не зависит от dx. То есть f дифференцируема. В обратную сторону доказывается так же просто: делим обе части равенства на dx и ищем предел при dx->0.

По поводу пятого вопроса.
Рассмотрим множество B, состоящее из множеств, которые являются элементами себя. Так как A-множество всех множеств, то B in A. С другой стороны A есть элемент A(A-множество) => A in B. То есть A=B. С другой стороны существуют множества, которые не являются элементами самих себя {1} например. Так как A множество всех множеств, то оно должно содержать эти множества, но такак как A=B, то оно эти множества несодержит. Противоречие.

4. Krisania ты Super

Насчёт 4-го вопроса что-то я сам напутал. Приеду из моря и откорректирую вопрос, а пока ты совершенно права.
5. Молодец

Побей 2-ой вопрос. Он же лёгкий.

А если мне лениво определение геометрической прогрессии искать?
Хотя вот:
{b(n)}-геометрическая прогрессия
b(n+1)/b(n)=q=const!=0
если q>1, то прогрессия возрастающая
если 0<q<1, то прогрессия убывающая
если q<0, то прогрессия знакопеременная
Так что ответ: нет, не может

Про геометрическую прогрессию -
Если считать что возрастающая это та для которой b1<b2<b3<...
то да, может
b1 = -1
q = 1/2 - например
Насчет функции - мне знаком такой вариант :
Существует ли функция, у которой в некоторой точке производная существует, но эта же самая производная в этой же самой точке НЕ непрерывна?

Еще вспомнилась хорошая задача про мудрецов :
В некотором городе жило некоторое количество мудрецов.
Все они были женаты
Некоторые из жен были неверны своим мужьям %)
Мудрецы знали все о неверности чужих жен, но ни один ничего не знал о своей, а спросить у других мудрецов им не позволяла непомерная гордыня
И еще там был такой добрый обычай - если днем муж узнавал о неверности своей жены, он должен был убить ее в эту же ночь
Однажды приехал в этот город Ходжа Насреддин - абсолютный авторитет для мудрецов, ему всегда верили на слово. Прочитал там какую то лекцию и перед отъездом сказал - "Некоторым из вас жены изменяют"
Этот день и еще пять последующих прошли нормально.
Когда наступил шестой день, выяснилось, что в ту ночь было убито некоторое количество жен.
Вопрос - сколько их было и вообще - как развивались события?
Мудрец - это человек, который делает все возможные умозаключения
(достоверно истинные). Т.е. если он мог прийти строго логическим путем к какому то выводу, то он к нему прийдет.

Вообще чтобы эта задача решалась, нужно чтобы Ходжа сказал что-то из серии "Некоторым из вас жены изменяют и обманутый муж--единственный кто не знает об измене". Иначе нужно вводить зависимость от паранои каждого конкретного мудреца Ну и чтобы мудрецы знали, что остальные тоже мудрецы.

Так вот, пусть Ходжа сказал вышеприведенную фразу. А мудрецы обладают нужными свойствами.
1. Пусть изменяющая жена всего одна. Тогда ее муж, не знающий о неверности других жен, сделал бы логичный вывод, что он и есть "рогоносец" и убил бы жену в первую ночь.
2. Пусть теперь неверных жен две. Тогда каждый из мудрецов(знающий об измене чужой жены) ожидал бы, что второй убьет свою жену в первую ночь. Когда же этого не произошло, то он бы понял, что есть еще одна неверная жена, а так как других неверных жен он не знает, то это его собственная жена. И убил бы ее во вторую ночь.
Аналогично, если неверных жен 3, то их убили бы в третью ночь...
Так как смертоубийство состоялось в пятую ночь, то неверных жен было 5.

А такая задача - собрался форум из ученых
Ученые двух типов - правдивые и лживые
Правдивых больше.
Правдивые всегда говорят правду, а лживые - могут сказать правду, а могут солгать.
Пусть ученых n штук.
Как не более чем за 2n-2 вопроса(класса "да-нет") им определить, кто из них кто?
(Просто определить их кол-во несложно - достаточно поставить вопрос на голосование

Никак: так как на лживых ученых не наложено никаких условий, то они могут "эмулировать" правдивых ученых(то есть отвечать на вопросы так, как ответил бы правдивый ученый)