Задачи по математике [ Настоящие, интересные, красивые ]

Я же написала:

. Шансы выиграть увеличились, когда была открыта 3-я дверь. От изменения выбора с 1 на 2 дверь шансы не увеличиваются.

Спойлер:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Монти_Холла

Как все-таки моск деградирует. Помнится мы с женой эту задачку целый день разбирали до кристальной ясности. А сейчас я даже условия с трудом понимаю

Сообщение отредактировал(а) нечто - 23.08.2011 - 11:54

Балин. Дошло.

И с теорвером сложности, и с психологией не очень... ) Я ведь дал эту задачу на реплику Ксаниты "Я в таких случаях просто чувствую, что вероятность одинаковая" и предупредил, что вероятность - штука коварная. Можно было вычислить. Почувствовать... ))

Проще всего с задачей разобраться в таком варианте: вы выбираете одну дверь, а потом вам предлагают такие условия: либо вы сохраняете свой первоначальный выбор, либо открываете обе оставшиеся двери - машина за любой ваша. А что изменится, если физически одну из двух оставшихся дверей открыл ведущий, а не вы? ))

Сообщение отредактировал(а) Sh18 - 23.08.2011 - 16:54

До меня дошло после того, как я изменил задачу, увеличив количество дверей до 10. Причем ведущий открывает 8 с козами. Понятно, что как ни крути, вероятность первоначального выигрышного выбора - 1/10, то есть за выбранной игроком дверью с вероятностью 90% находится коза.

Пойду Байеса читать.

Они меня не убедили.
Пока закрыты все 3 двери, вероятность того, что за выбранной дверью автомобиль - 1/3 - т.е. одинаковая для всех 3-х дверей. Когда закрыты только 2 двери, вероятность того, что за выбранной дверью автомобиль - 1/2, т.е. тоже одинаковая, меняй дверь не меняй.

Sh18

Это было бы так, если бы ведущий открывал двери случайным образом, т.е. если бы он сам не знал, за какой дверью находится автомобиль. Тогда бы мы оставались в рамках одной и той же задачи, и было бы действительно все равно, кто открывает обе двери сам участник или ведущий.
Но между ними разница как раз и заключается в том, что ведущий знает, где автомобиль. Поэтому не все равно, кто открывает двери. И поэтому ведущий своим действием задачу превращает из одной в другую - с другими вероятностями.

Татя, я на этом тоже застрял.
Смотри, предположим, у нас 10 дверей и только один автомобиль.
Ты с вероятностью 0.9 выбираешь козу, правильно?
Ведущий открывает еще 8 коз. Остается, кроме твоей, только еще одна дверь. За от, которую ты выбрала, если помнишь, коза на 90%. Значит, за оставшейся на 90% автомобиль.

Есть в сети программы где реализован этот парадокс с тем чтобы можно было убедиться, такскаать воочию.
В принципе можно и без программ, на пальцах проверить)


Сообщение отредактировал(а) нечто - 30.08.2011 - 22:36

Можно так изобразить.

Есть 3 двери. За каждой из них находится 1/3 автомобиля и 2/3 козы. (Это вероятности так распределены)
Когда ведущий открывает одну дверь, за который коза, 1/3 автомобиля оттуда исчезает и оказывается за двумя другими дверьми - причем поравну, т.к. они абсолютно равнозначны (обе закрыты). Т.е. 1/6 автомобиля переходит за первую дверь, и 1/6 за вторую. Получается, что за обеими дверьми оказывается по 1/2 автомобиля.

Графически


1-я дверь: ККККАА
2-я дверь: ККККАА
3-я дверь: ККККАА

переходит в

1-я дверь: КККААА
2-я дверь: КККААА
3-я дверь: КККККК (открытая дверь)


В случае с 10 дверьми ситуация такая же. Когда ведущий открывает очередную дверь где коза, увеличивается вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей. Но она увеличивается для всех дверей одинаково, потому что они все одинаково закрыты.

Татя, находишь партнера(не подумай чего, для проверки). Берете 3 игральные карты - 2 валета и один туз. Партнер изображает ведущего, а ты игрока.
30 раз угадываешь не меняя выбор, 30 раз меняя. Сравниваешь победы.
Симпатичной проги не нашел, но вот в википедии внизу есть:
http://sergey-a.ru/paradox/Untitled-2.html

Вообще-то да, ты прав.
Выбранная игроком дверь отличается тем, что ведущий ее не может открыть.

Это было бы так, если бы ведущий открывал двери случайным образом, т.е. если бы он сам не знал, за какой дверью находится автомобиль. Тогда бы мы оставались в рамках одной и той же задачи, и было бы действительно все равно, кто открывает обе двери сам участник или ведущий.
Но между ними разница как раз и заключается в том, что ведущий знает, где автомобиль. Поэтому не все равно, кто открывает двери. И поэтому ведущий своим действием задачу превращает из одной в другую - с другими вероятностями.

Извини, Татя, ты не права. Кто открывает двери - без разницы. Если хочешь, такой вариант - двери за ширмой, игроку ГОВОРЯТ, что ведущий открыл одну дверь, за которой коза (хоть за одной оставшейся дверью коза точно есть), а на самом деле если он меняет свое решение, то открывают сразу две двери, не меняет - одну, начальную.

Да и вообще, в одном варианте в конце открыта одна дверь, в другом две, причем если за любой открытой дверью машина - она ваша. Кто там как суетился посредине - неважно. Это как закон сохранения энергии: можно детально решать уравнения движения - всю эту суету, - а можно сравнить энергии в начале и в конце - и сразу получить ответ. Кстати, "решать уравнения движения" для этой задачи - считать вероятности по формуле Байеса - тоже можно, дает тот же результат. Не помню где, возможно в вики, этот расчет приведен, если разберешься - посмотри.

Сообщение отредактировал(а) Sh18 - 1.09.2011 - 10:12

Sh18, а я согласна с этим
Более того, если игрок сам открывает одну из оставшихся двух дверей, и там оказывается коза, по-прежнему выгодней поменять свой выбор.

Итак)))

Есть два возможных варианта:
1. За дверью, выбранной игроком первоначально коза.
2. За дверью машина

Вероятность варианта №1- 66.7% (или две трети). Если ведущий показывает козу, то за оставшейся дверью со 100% вероятностью автомобиль. То есть меняя дверь мы получим 0,667*1=0,667

Вероятность варианта №2- 33,3 % (одна треть). За оставшимися дверьми две козы. Перемена двери дает вероятность выигрыша- 0
0*0,33=0

Итого: меняя дверь шансы на выигрыш равны двум третям.

PS. Вероятность не зависит от действий ведущего. Никак не зависит

Сообщение отредактировал(а) nextxt - 2.09.2011 - 10:14

Про конверты.

В общем случае (при неизвестном соотношении х1:х2, где х1 и х2 - количество бабла в каждом из конвертов):
Х=х1+х2 - общее количество бабла в обоих конвертах.
Принципиальный момент, т.к. сначала определяется Х бабла, распределяется по конвертам, и только потом испытуемые получают эти конверты.
Равновероятно, что в "нашем" конверте №1 как х1, так и x2.
P(x1)=P(x2)=1/2
В случае обмена также равновероятно, что теперь в "нашем" конверте №2 как х1, так и x2.
P(X-x1)=P(X-x2)=1/2
Величина возможного выигрыша у=|х1-х2|,
а величина возможного проигрыша -у=-|х1-х2|.
Ожидаемая выгода от обмена "шила на мыло" 1/2*у+1/2*(-у)=0.

В частном случае, при Х=3*min{х1,х2}
Равновероятно, что в "нашем" конверте х1=1/3*Х и х1=2/3*Х.
Величина возможного выигрыша у=Х/3,
а величина возможного проигрыша -Х/3.
Напоминаю, что Х - неизвестно и определено заранее, до выдачи конвертов.
Т.е. каждый с вероятностью 50% выиграет или проиграет треть "общего призового фонда", который предопределен.

Та вот...

Выигрыш и проигрыш - равновероятны при зафиксированном призовом фонде Х.
НО!
Для каждой $A - конкретной суммы бабла в отдельно взятом конверте, существуют два варианта величины "призового фонда". Эти величины (читай: "события") Х1=3*$A и Х2=1.5*$A в тексте задачи объявлены равновероятными - в этом и состоит ошибка, т.к. они являются причиной для конкретной $A суммы в конверте, а не его следствием.

Из N событий, при N стремящемся к бесконечнести, N1 раз в конверте X1=3*$A, N-N1 раз X2=1.5*$A
За N раз было выдано $Z=N1*X1+(N-N1)*X2=1.5*$A(N+N1) (1)
Для каждого Х, мы равновероятно получаем Х/2+-X/6.
Средняя выплата каждому участнику $Z' за N раздач равна N/2*(X2/2+X2/6)+N/2*(X1/2-X1/6)=N/2*$A+N/2*$A=N*$A
$Z=2*$Z'=2*N*$A
Т.о. приравняв к (1), получаем, что 2*N=1.5*(N+N1), N1=N/3.
Т.е. для каждой конкретной суммы в конверте $A вероятность призового фонда X=3*$A составляет 1/3.
С вероятностью 2/3 призовой фонд составит 1.5*$A.
Мат.ожидание при обмене:
1/3*$A+2/3*(-$A/2)=$0

ЗЫ: Приведенные в тексте задачи рассуждения верны для ситуации, когда игрок получает $A в конверте, после чего в другом конверте появляется сумма 2*$A или $A/2.