Да, центростремительная сила существует.
Центростремительная сила - это сила натяжения нити, что действует на шарик (точнее, та её часть, что идёт в горизонтальной плоскости за вычетом вертикальной составляющей, направленной на компенсацию веса шарика. Если бы шарик вращался вокруг стержня, катаясь по столу, то сила натяжения нити была бы равна центростремительной силе точно).
Именно она заставляет шарик двигаться по кругу (а не лететь прямолинейно, как положено любому свободно движущемуся телу в инерциальной системе отсчёта).
Естественно, направлена она к центру - к стержню, вокруг которого вращается шарик.
Понятие центробежной силы - это иллюзия. Если перейти во вращающуюся систему отсчёта, связанную с центром и шариком, то в ней шарик будет покоиться, на него будет действовать сила натяжения нити.
Внимание, вот тут-то и происходит фокус-ошибка! Мы забываем, что вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и начинаем применять к ней законы Ньютона для инерциальных систем отсчёта. Т.е. раз шарик покоится, а сила натяжения нити есть, то для компенсации этой силы нужно ввести ещё одну - центробежную, которая бы уравновешивала бы силу натяжения нити. Но весь фокус-то состоит в том, что в неинерциальной системе данное правило не выполняется!
F=ma - это для инерциальных систем. а в неинерциальной вполне может быть
a=0 при ненулевой
F. Что мы и наблюдаем, собственно...
Простой пример для иллюстрации: вот мы бежим по дорожке. В это время на перекрёстке вдруг появляется другой бегун, не успевает разминуться с нами и толкает нас в бок. Наша траектория (если нам удаётся удержаться на ногах) перестаёт быть прямолинейной и искривляется. Если бы нас сразу же толкнул ещё один бегун - она бы искривилась ещё. И т.д. при условии феноменальных способностей держаться на ногах - мы бы начали бежать по кругу. При этом, естественно, никакой центробежной силы на нас не действует - только центростремительная сила точков наших неаккуратных товарищей