Формальная система состоит из:
- "Алфавита" - в обощенном понимании, то есть, слов, знаков, etc., кторые используются для построения предложений.
- Синтаксиса - то есть набора правил, по которым в системе строятся осмысленные предложения. Не значит "истинных", просто имеющих смысл в этой системе.
- Для каждого предложения существует противоположное (есть правило построения).
- Аксиом - то есть некоторого количества предложений, удовлетворяющих, естественно, синтаксису, то есть, являющихся осмысленными, которые объявляются истинными. Ложное предложение - такое, противоположное которому является истинным.
- Правил вывода - это часть аксиом, которые показывают как из одних утверждений можно получать другие, причем если исходные предложения являются истинными, то выводимые также считаются истинными. [Если исходное предложение ложное, то об истинности выводимого предложения ничего сказать нельзя].
Тут нет никаких сложностей, бессмысленные предложения от ложных отличаются элементарно: бессмысленные - не соответствующие синтаксису, то есть, ничего не означающие в этой системе, ложные - те, противоположные к которым являются истинными. Существуют еще неправильные утверждения - использующие символы, не входящие в алфавит формальной системы (они, собственно, утверждениями и не являются).
Плодотворные-бесплодные - это лирика, формальные системы такого не рассматривают. Да и еще: связь формальной системы с реальной жизнью в нее не входит, это внешнее, дополнительное соответствие (
семантика, смысл в нашем обычном понимании). Причем соответствие вовсе не обязательно единственное. И может быть, например, "плохим" - то есть, после установления такого соответствия истинные предложения в системе могут соответствовать неверным элементам (связям и др.) в жизни - но это тоже к формальной системе отношения не имеет.