Форумы Синтона

Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате

Форумы Синтона > Помощь и поддержка > Вопрос по аналитической геометрии

Автор: Надя П. 1.06.2012 - 13:00

Просьба к тем кто что то еще помнит из курса высшей математики..
Вопрос такой
Чтобы определить линию на плоскости нужна функция с одним аргументом y=f(x).(из которой можно сделать уравнение с двумя переменными x и y)
Чтобы определить линию в пространстве нужна функция с двумя аргументами z=f(x,y) ( из которой можно сделать уравнение с тремя переменными x,y и z)
И в тоже самое время функция с двумя аргументами задает поверхность в пространстве.
Есть даже стандартные формулы для плоскости в пространстве Ax + By + Cz +D = 0 и прямой в пространстве user posted image

как можно заметить формулу прямой несложными преобразованиями можно привести к формуле плоскости.
Когда в конкретной задаче задаче дается например формула
x-y-z+1=0
Как по ней определить- прямая это или плоскость?
Потому что приведенное уравнение можно представить и так
user posted image

Перенес в Консультарий.
Ласкер.

Автор: Надя П. 1.06.2012 - 13:16

Что то я поторопилась- приведенный пример друг в друга не переводится..
Тогда вопрос корректируется- можно ли рассматривать формулу user posted image

как уравнение с тремя переменными? потому что если ее "крутить" получается только система из двух уравнений..
И еще одно предположение, исходящее из этой поправки- Линию в пространстве- вообще нельзя задать одним уравнение с тремя переменными- а только системой из двух таких уравнений. Верно это или нет?

Автор: Ласкер 1.06.2012 - 21:47

Цитата

И еще одно предположение, исходящее из этой поправки- Линию в пространстве- вообще нельзя задать одним уравнение с тремя переменными- а только системой из двух таких уравнений.

Можно.
И вышка тут не нужна.

Цитата

Тогда вопрос корректируется- можно ли рассматривать формулу как уравнение с тремя переменными? потому что если ее "крутить" получается только система из двух уравнений..

{
(x-x1)/m-(y-y1)/n=0
(x-x1)/m-(z-z1)/p=0
(z-z1)/p-(y-y1)/n=0
}
=>
((x-x1)/m-(y-y1)/n)^2 + ((x-x1)/m-(z-z1)/p)^2 + ((z-z1)/p-(y-y1)/n)^2 = 0

Например, прямая x=y=0*z выглядит так:
x^2+y^2=0

Или x=y=z => (x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2=0

Автор: Надя П. 1.06.2012 - 23:35

Цитата

Например, прямая x=y=0*z выглядит так:
x^2+y^2=0

Я, честно говоря не очень поняла, как ты пришел к такому выводу, но получается вообще то ерунда.
x=y=0*z это прямая y=-x
x^2+y^2=0 'это уравнение круга с нулевым радиусом- т.е. точка..
Прямая выглядит точкой?

Автор: Надя П. 1.06.2012 - 23:41

Извиняюсь- поняла
x=y=0*z это как бы не уравнение- это присвоение переменным конкретного значения- нуля.. И получается точка..
Но точка- это конечно не плоскость и не прямая- ее можно по разному задать... и одной и двумя и тремя переменными..
Хотя- если говорить о прострастве- то точка тоже должна иметь три координаты..Но суть в том что эти координаты друг от друга не зависят, т.е уравнения с ними не составишь..
А в прямой и плоскости- зависимость y от x и z от x и y
Все таки я склоняюсь к своему последнему предположению..

Автор: Ласкер 2.06.2012 - 01:47

Цитата

Когда в конкретной задаче задаче дается например формула
x-y-z+1=0
Как по ней определить- прямая это или плоскость?

Это поверхность 1-го порядка.

Цитата

x^2+y^2=0 'это уравнение круга с нулевым радиусом- т.е. точка..

Напоминаю, что все формулы нужно рассматривать в 3-мерном пространстве . И специально для тебя:
x^2+y^2+0*z=0
"Ось z" - прямая x^2+y^2=0 - это окружность радиусом 0 при любом z.
т.е. множество точек.
Функция определена при {х=0;y=0}.

ЗЫ:
Прямая задается через пересечение плоскостей, или как частные случаи поверхностей более высоких порядков.
Окружность задается через уравнение тора с r=0.
И т.п.

Автор: Надя П. 2.06.2012 - 22:01

Спасибо за разъяснение.
Кое что я дошла своим умом..
Если в уравнении одна переменная- оно может означать точку в одномерном пространстве , прямую в двухмерном и даже плоскость в трех мерном..
Аналогично- если две переменных- то это либо прямая ( берем уравнения первой степени) в двух мерном, либо плоскость в трехмерном.
То есть количество переменных- определяет мерность пространства, и смысл уравнения сохраняется ( хотя и изменяется) только при увеличении мерности.
Когда же я хотела что бы три переменных обозначали прямую- происходит уменьшение мерности- трм переменных обозначают пространство(трех мерное), прямая- это- плоскостное понятие (двух мерное)- соответстветственно смысл уравнения- пропадает.

Автор: Sh18 4.06.2012 - 10:35

Пусть есть точка в n-мерном пространстве. Координаты пусть будут х1,х2,...хn. Если нет никаких уравнений, связывающих эти коордниаты, то точка может описывать все пространство размерности n, говорят, что у нее n степеней свободы. Если есть одно уравнение, связывающее эти координаты (говорят, есть одна связь), то количество степеней свободы уменьшается на одну, точка может двигаться по (n-1)-мерной поверхности, число степеней свободы n-1. Если связей две, то число степеней свободы n-2, и так далее. Каждая связь уменьшает число степеней свободы и размерность "дозволенного пространства" на единицу. Если уравнений n-1, то число степеней свободы получается одна - точка может двигаться по некоторой кривой (если уравнения линейные - по прямой). Если уравнений n-2, точка может двигаться по 2-мерной поверхности, если уравнения линейные - по плоскости. Для конкретных n:

n=2 (на плоскости) - если есть одно уравнение (одна связь), то точка движется по линии, если связь линейная - по прямой. Если есть две связи, то решением может быть одна или несколько точек, либо решения может вообще не быть.

n=3 (в трехмерном пространстве) - если есть одна связь, точка может двигаться по двумерной поверхности, если связь линейная - по плоскости. Если есть две связи - точка движется по одномерной линии, если связи линейные, то по прямой линии

Автор: Надя П. 4.06.2012 - 17:26

Sh18
Спасибо за разъяснение, кое что понятно

Вообще вопрос про линию в пространстве у меня родился из размышлений о тройном интеграле

, ответ на который я еще не нашла.
Но я его постараюсь сформулировать на днях, и буду благодарна вам, если вы останетесь на связи..

Автор: Надя П. 9.06.2012 - 23:36

Наконец у меня сформулировалась некоторая теория о тройных интегралах, и на ее основе вопрос- хоть может быть и "неумный" сточки зрения математики.
Сначала немного теории.
Объем некоторого тела можно найти с помощью тройного интеграла если представить его в виде двух пересекающихся поверхностей (функций от трех переменных), линию пересечения этих поверхностей спроецировать на одну из плоскостей OXY, OYZ, OXZ, затем представить эту проекцию как две пересекающиеся линии в плоскости проекции-функции от двух переменных- и записать в виде
user posted image

где z1 и z2- плоскости образующие тело, y1 и y2-линии образующие фигуру на плоскости проекции.
А теперь вопрос:
Саму линию пресечения поверхностей в пространстве, как я поняла из вышесказанного через функцию от двух переменных выразить нельзя- но вот ее проекцию на какую либо плоскость- для простоты -OXY, можно представить как y=f(x). Как видно из формулы тройного интеграла- эта функция нам нужна как пределы "серединного" интеграла (вернее там получается две таких функции- в общем случае). Существуют ли какие нибудь способы- найти эти эти функции? Например- есть поверхность А(x,y,z) и В(x,y,z). Записать уравнение проекции линии их пересечения на плоскость OXY, в виде y=f(x) ( или в виде двух пересекающихся функций y1=f(x) и y2=f(x)

Автор: Надя П. 10.06.2012 - 13:47

Продолжаю сама думать над проблемой.
Как известно гладкую кривую в пространстве легче всего задать параметрически
$user posted image$
Мое предположение- если из параметрического задания исключить какое либо одно из трех уравнений- то оставшиеся два- как раз будут задавать линию- проекцию исходной кривой на плоскость оставшихся переменных- т.е. если, например, исключить уравнение с z,- останется уравнение проекции этой кривой на плоскость OXY.
Если это предположение -верно то для решения первоначальной проблемы осталось продумать- как из системы двух уравнений с тремя переменными (двух пересекающихся поверхностей ) получить параметрический вид пространственной кривой, образующейся при их пересечении.
Для наглядности пример:
предположим имеется элиптический параболоид
$user posted image$
и например плоскость
x+y+z=5
Т.е. система из двух уравнений с тремя перемеными.
как из них сделать параметрическое уравнение кривой в пространстве?

Автор: Sh18 13.06.2012 - 11:54

Интересный вопрос про проекцию тела на плоскость... Пара дней размышлений меня ни к чему не привели, задал этот вопрос на форуме мехмата, посмотрим, что скажут корифеи.

Что касается возможности перехода от неявного задания кривой парой уравнений к параметрическому заданию, то тут точно не существует однозначного решения - параметризаций может быть бесконечно много. Есть выделенная параметризация - собственной длиной линии, отсчитываемой от произвольной начальной точки. Тут можно получить какие-то однозачные формулы, но вряд ли они будут иметь какое-либо практическое значение, сложность будет приличной. Простой вариант: если в точке x0, y0, z0 dF1/dx и dF2/dx не равны 0, то в некоторой окрестности этой точки в качестве параметра можно использовать х. Глобально никаких правил не существует

Автор: Надя П. 13.06.2012 - 13:45

Цитата

Интересный вопрос про проекцию тела на плоскость...

Это стандартная задача в теме тройные интегралы- нахождение объема тела.
Просто приводимые примеры в учебниках, и задаваемые задачи подобраны таким образом- что эту проекцию там найти легко, и соответственно выразить ее границы каким либо уравнением- тоже легко ( круги, элипсы, треугольники и.т.д.)
а я с вопросом поторопилась

, и не читала еще учебник- и рассмотрела общий случай- когда проекция получается произвольной формы- т.е.- решила получить алгоритм на все случаи жизни..
На счет параметризации- ну- нельзя, так нельзя.. В принципе- в приводимых примерах- все делается без этого..
прведу один примерчик из учебника, может быть будет более понятно о чем я говорю
user posted image

Автор: Sh18 13.06.2012 - 14:55

То что в учебниках почему-то обычно получается "удобная" область (решение в квадратурах, целых числах и т.д.) - это известная особенность учебников. Но интересна именно общая задача. Для выпуклых компктных поверхностей она, по идее, должна иметь решение. Псмотрим, может, помогут. Пока и на мехмате больше троллят...

Автор: Sh18 14.06.2012 - 11:18

Атомная бомба, как обычно, и как и предвещал великий Мао, оказалась бумажным тигром. Задачка не очень, возможно, полезная для практики, но для общего понимания и развития - весьма )

Задача. Есть замкнутая компактная строго выпуклая поверхность в трехмерном пространстве заданная как F(x,y,z)=0. Найти границу проекции этой поверхности на плоскость х-у.

Решение. Не строгое, конечно. Выпуклость поверхности нужна, чтобы у искомой линии (границы) не было самопересечений. А так...

Нормаль к поверхности в точке (x,y,z) имеет вид gradF(x,y,z). Если нам нужны точки этой поверхности, которые спроецируются на границу проекции (назовем их "крайние"), то в них нормаль к поверхности должна быт параллельна той плоскости, на которую проецируем:

gradF(x,y,z)*n=0, где n - нормаль к плоскости проекции.

Кроме того, "крайние" точки лежат на поверхности, то есть для них так же выполняется F(x,y,z)=0. Получаем систему, которая задает (пространственную) кривую из "крайних" точек:

gradF(x,y,z)*n=0
F(x,y,z)=0

Если плоскость x-y, то n=(0,0,1) и это превращается в

dF(x,y,z)/dz=0 (имеется в виду частная производная)
F(x,y,z)=0

Чтобы получить формулу для проекции этой кривой на х-у, надо выразить z из одного уравнения и подставить в другое, будет некоторое f(x,y)=0, неявно заданная кривая на x-y

Чтобы получить "верхнюю" и "нижнюю" кривую для того среднего интеграла, надо найти крайние точки по х (с минимальным и максимальным х) и "разрезать" по ним замкнутую кривую на верхнюю (с большими у) и нижнюю.

Автор: Надя П. 14.06.2012 - 22:15

Цитата

Есть замкнутая компактная строго выпуклая поверхность в трехмерном пространстве заданная как F(x,y,z)=0.

Нет, подожди, у меня было две пересекающихся поверхности...Т.е. ситуация тожно такая же как в приведенном примере из учебника, только проекция получается не круг, а какая нибудь" ромашка".
Эти поверхности ведь нельзя заменить какой нибудь одной " строго выпуклой"?
А если можно- то мне тогда это звено в рассуждениях нужно вставить.

Автор: Sh18 15.06.2012 - 08:50

Можно, но она будет не очень гладкой: по линии стыка - ребро. И той самой производной на этом ребер нет ( в моем рассуждении требуется еще и гладкость - существование производной). Я же говорю, задачи решаются не из общих принципов, а каждая по своему - и в них - совершенно случайно - все получается удобно и хорошо )